またまた、「実数全体が二乗値としてbeingしているのでは」シリーズの続き。以下の様な図を書いてみた。言わんとすることは、じっくり見ていただければお分かり頂けると思う。

一つ気付いたことがある。それは、複素数単位 e^iθ、四元数単位 e^{iθ＋jφ＋kψ} 、八元数単位 exp(Σe_kθ_k) の三つは、量子論でいう所の「同時固有状態（simultaneous eigen state）」であるということ。

「実数物理量A,Bに対応するエルミート演算子A,Bが可換であるとき、即ちAB–BA=0であるとき、実数物理量A,Bを同時に成り立たせる共通の固有量子状態が必ず存在する」という量子論の定理がある。この定理の証明は、例えばこの記事を参照されたい。

今の例で言えば「任意の実数A,Bは、積に関して可換であるので、実数全体に共通に成り立つ同時固有状態がある。」ということ。

私達の多くは、同時に実数全体を同じく認識できる。これを当然と思っている。3は3だし、2は2だ。ほとんどの場合、人により認識にズレが生じる、なんてことはない。が、その根本には深遠な自然原理が隠されているようだ。

20240502訂正加筆：数値認識が難しい算数障害（ディスカルキュリア、dyscalculia）の人達への配慮に欠けていた。ゴメンナサイ。訂正してお詫び申しあげます。dyscalculia の原因究明・医療研究に、上記ヒントが少しでも役立てばと願う…。

「実数全体が二乗値としてbeingしているのでは」シリーズの続き。

コラム309で「|ｘ＞ はＸを演算されることによって一つだけの固有値 x と一つだけの固有ベクトルｅ^iθ を持つ」と述べたが、この唯一の固有ベクトルは、複素単位円e^iθに限定されないことに気づいた。メモしておく。

ブルーバックス『数の世界 自然数から実数、複素数、そして四元数へ』(229頁)を読んで気づいた。

この229頁中程にある「1次元、3次元、7次元の単位球面」、即ち、「それぞれ複素数、四元数、八元数を用いて表される、大きさが1である数の全体」のどれかが、該「唯一の固有ベクトル」であれば、「実数 x の量子状態ベクトル|ｘ＞が、実数 として私達の前に（あるいは意識の中に）波束の収縮を起こすとき、確率100％で、実数 x が現れる。」となる。

20230905追記：上記の四元数三次元単位球面と八元数七次元単位球面は、通常の二次元球面ではない。「面」と呼ぶのは不適切かもしれない。四元数三次元単位球面は、『数の世界』204頁の表式
　　e^{iθ＋jφ＋kψ} 　（0≦θ≦2π、0≦φ≦2π、0≦ψ≦2π）　
で表される。それは、四次元空間の原点から距離「1」だけ離れた点から成る三次元「球体」。同様に、八元数七次元単位球面は、八次元空間の原点から距離「1」だけ離れた点から成る七次元「部分空間」。分かっている人にはお節介だが、もう少しで分かりそうな人をもう一押しするために、敢えて「注記」した。

更にコラム307「自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか」の続き。

前回コラム308では、実数 x の量子状態ベクトル |ｘ＞は、その実数関連部分を抽出して、複素平面上で半径をxとする円（ つまり xｅ^iθ ）として表すことが出来るのでは、と考えた。

勿論、量子の全貌は、少なくとも今の人間の力ではconceive出来ない。だから、実数 x の量子状態ベクトル |ｘ＞を xｅ^iθとして捉えてみるというのは、「便宜上の表式」あるいは「 |ｘ＞が実数 x として私達の前に（あるいは意識の中に）波束の収束を起こす部分に限った話」だ。

けれどもこの「便宜上の表式」は、標題に記したようなチョット面白いことを想起させる。どういうことかというと…。

いま、 |ｘ＞に左から演算すると実数 x を返す実数演算子Ｘというものを定義してみる。即ち
　　Ｘ |ｘ＞ = x |ｘ＞
である。さらに量子論の公理系から、
　　Ｘ |ｘ＞ = Σ k番目の固有値・k番目の固有ベクトル
と、Ｘ によって |ｘ＞がスペクトル分解できることが分かる。

スペクトル分解の上式を、先程の「 |ｘ＞が実数 x として私達の前に（あるいは意識の中に）波束の収束を起こす部分は xｅ^iθと置くことができる」というのと並べて見比べてみる。すると、|ｘ＞ はＸを演算されることによって一つだけの固有値 x と一つだけの固有ベクトルｅ^iθ を持つ、ということが浮かび上がってくる。式で表せば、
　　Ｘ |ｘ＞ = xｅ^iθ
ということ。

ここまで「そうだ」と思ってくれれば、あとは、Bornの確率規則により、
　　|ｘ＞が固有値 xに向かって「波束の収縮」を起こす確率
　　　　　　= || 対応する固有ベクトル ||²
　   　　　　 = (ｅ^-iθｅ^iθの平方根 )²　
                      = 1

以上により、「実数 x の量子状態ベクトル|ｘ＞が、実数 として私達の前に（あるいは意識の中に）波束の収縮を起こすとき、確率100％で、実数 x が現れる。」と想定できる。

もしこれが本当なら、「実数x の、ヒルベルト空間におけるsubstance（実体、本体、本質）は、量子状態ベクトル |ｘ＞、あるいはその実数関連部分を抽出して xｅ^iθである」ということが、「人間には杳（よう）として知れぬ」というのが、当然のこととなる。

つまりこれは「本当かどうか証明できない」。また、それ以前に「こんなこと思いつきもしない。疑問が湧かないから、証明する必要も無い」。

量子論のことばで説明すると、ある可観測量について固有ベクトルと固有値の組を複数もつ量子が背後にあるならば、複数回の観測をするとその可観測量の値（あたい）がばらつき、「測定精度が悪いのか、それとももっと根本的な問題か？？？」と疑問が湧く。けれども、ある可観測量について固有ベクトルと固有値の組を一つしか持たない量子が背後にあるときは、何度観測してもその可観測量の値（あたい）が（測定精度が悪くないのであれば）一つの確定値となり、「何か見落としているのかな？」という疑問が湧いてこない。

今の場合でいうと、実数で表現されるa naive realityにいる人間（a human existence）が、或る実数 x を「想起」しようとすると、その実数 x の起源である実数量子が実数 x に対し固有ベクトルと固有値の組を「ｅ^iθと x 」という具合に一つしか持たないので、何度「想起」してもその実数の値が常に一つの確定値 x に「波束の収縮」をする。「背後があるかも」なんて思いもしない。疑問の余地が無い。

恐らく本当。でも、受け入れるなら「公理」として受け入れるしかない、のだろう…。きっと…。

コラム307「自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか」の続き。

今回の要点：全てが実数で表されるa naive realityにいる私達が認識する実数 c の、一つ外側の高次空間においてbeingするその実体は、一次元ヒルベルト空間内の一成分複素ベクトル |c>、つまり、複素平面上の円をなす複素数集合 x + iy, (ただしx² + y² = c² )ではないのか。

図をジックリとご覧頂ければイメージが掴めると思う。

更に言えば、私達がa naive realityにおいて認識する実数 c は、波束 |c> が実軸上にreduction of wave packet（波束の収縮）をしたものではないのか…。

・・・昨日コロナワクチン第6回目を受けて身体の節々が少し痛い。今はこれ以上考えがまとまらない。続きは後日。

20230611追記：これに似た考えは、須藤靖著『解析力学・量子論 第二版』207頁にもある。

20230627追記：position operator（位置演算子）の記事も参考になる。

Not only natural numbers but all real numbers are squared beings in another universe？　

去年4月に、NHK「数学者は宇宙をつなげるか　ー abc予想証明をめぐる数奇な物語」で左図を見た。それは「私達の宇宙では、…3,4,5,6…の様にexistしている自然数は、別の宇宙では、…9,16,25,36…の様に二乗値としてbeingしているのではないか」という問題提起。以来、私の頭から離れないのは「いや、そういった宇宙Bでは、自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか」ということ。一年間以上頭から離れないので現時点でメモを残すことにした。・・・

・・・コラム255「量子論の公理系」で紹介したように、量子は、ヒルベルト空間内の複素ベクトルとして表される。ヒルベルト空間とは、{1} 内積が定義される、{2} 完備な、{3} 複素ベクトル空間のこと。ヒルベルト空間の元（element）は、x+iyの様に実数部と虚数部  (iは虚数単位、i²=－1) を持つ複素数で表される成分を持つ複素ベクトル。ヒルベルト空間には「実数で全容が表される存在」は無い。例えば長さ30.5センチ重さ56.9グラムのように全て実数で表されるa naive realityにいる私達には、「量子」の全貌を捉えることはできない。

しかし、ヒルベルト空間内の複素ベクトル  |φ＞は、その大きさ || |φ＞||が、以下の様に正の実数値として定義できる。またここでは詳しくは陳べないが、大きさ || |φ＞||から導出される量は、公理3「Bornの確率規則」によって、測定値 a_kが得られる確率として実際に観測することが可能だ。

（厳密に言うと、量子を表す複素ベクトルを顕(あら)わに数式で表すことは出来ない。一般的には、さまざまな複素関数を使って「波動関数」をつくり出し「量子の表式」として使うことが多いが、その様な「波動関数」は「量子」の全貌を捉えたものではない。a naive realityにいる私達には「量子」の全貌を捉えることはできない。以下の表式も、あくまで便宜的なものだ。）

|φ＞の成分を x₁+iy_1, x₂+iy₂, ・・・x_n + iy_n   として
自分自身との内積 = ＜φ|φ＞ = (x₁-iy₁)(x₁+iy₁)+(x₂-iy₂)(x₂+iy₂)+・・・+(x_n – iy_n)(x_n + iy_n)
                                               = x₁²+y₁²+x₂²+y₂²+ ・・・+x_n²+y_n² 
大きさ = ＜φ|φ＞ の平方根 = (x₁²+y₁²+x₂²+y₂²+ ・・・+x_n²+y_n² ) の平方根

ここでは、複素数 x+iy にその共役複素数 x-iyを掛け算し、(x-iy)(x+iy) = x² – i²y² = x² + y² と、正の実数値となる点に注意したい。

つまりここが肝腎なところだが、「実数で全容が表される存在」が無いヒルベルト空間に、複素ベクトルの「大きさ」という正の実数値で表せる量を、a naive realityにいる私達は見いだすことが出来る。

私達がいると感じているa naive realityの、一つ外側の高次空間であるヒルベルト空間には、自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか、と考える所以。