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1958年ハイゼンベルク、無冠詞realityとは何か、驚くべきdiscover(カヴァー取り外し)

無冠詞realityに「ヒルベルト空間+実空間」あるいは「形而上界+形而下界」という意味を持たせたのは、1958年のハイゼンベルクだと分かったのでメモしておく。

ハイゼンベルクは、1955年から1956年にかけてスコットランドのSt. Andrews大学で、「宗教と科学」の研究で有名なGifford講演の講師を務めた。その内容を1958年に「Physics and Philosophy」(原英文)という書籍にまとめた。この書籍は、翌年の1959年には日本語訳がみすず書房から出版され、更にその新装復刊が去年9月に出版された。(左掲)

訳者あとがきには「リアリティ・・・この言葉は通常、現実性とか実在性などど訳されていると思うが・・・強いて日本語をあてることを止め、そのままにした」「(意味は)本書を読んでいくうちに次第にはっきりするはず」とある。

「Physics and Philosophy」(原英文)の第一章「An Old and a New Tradition」から、ハイゼンベルクが言わんとすることを最も表していると思う一文を抜き出すと:

…the change in the concept of reality manifesting itself in quantum theory is not simply a
continuation of the past ; it seems to be a real break in the structure of modern science.
「拙訳」:量子論の中に顕れた無冠詞reality概念の変化は、過去の単純な延長上にはない。
それは、現代科学の構造の中に本当の断絶をもたらしたように思える。

約70年前にハイゼンベルクが見つけた「無冠詞realityとは何か、調べていくうちに得られた、驚くべき真相の一つ」はその後、科学だけではなく哲学・宗教・社会思想,,,そして「人々の意識の中」に定着し、この形而下界の社会構造を大きく変えていく,,,と私は期待したい。

分科会2023#5 (11月18日) 開催通知および配付資料

日時2023年11月18日土曜日 13:30 ー 15:30
場所(東京都 新宿区 信濃町 33 -4 カトリック真生会館 1Fホール)
ZOOMによるオンライン勉強会を予定。参加を予定する方は私(齋藤)までお知らせ下さい。
テーマフランチェスコの経済 — 無冠詞economyの実践とは、taking care of the common homeすること。

配付資料

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clm.311:唯一の固有ベクトルであれば、複素単位円でも、四元数三次元単位球面でも、八元数七次元単位球面でも良い。

「実数全体が二乗値としてbeingしているのでは」シリーズの続き。

コラム309で「|x> はを演算されることによって一つだけの固有値 x と一つだけの固有ベクトルe を持つ」と述べたが、この唯一の固有ベクトルは、複素単位円e限定されないことに気づいた。メモしておく。

ブルーバックス『数の世界 自然数から実数、複素数、そして四元数へ』(229頁)を読んで気づいた。

この229頁中程にある「1次元、3次元、7次元の単位球面」、即ち、「それぞれ複素数、四元数、八元数を用いて表される、大きさが1である数の全体」のどれかが、該「唯一の固有ベクトル」であれば、「実数 x の量子状態ベクトル|x>が、実数 として私達の前に(あるいは意識の中に)波束の収縮を起こすとき、確率100%で、実数 x が現れる。」となる。

20230905追記:上記の四元数三次元単位球面と八元数七次元単位球面は、通常の二次元球面ではない。「面」と呼ぶのは不適切かもしれない。四元数三次元単位球面は、『数の世界』204頁の表式
  eiθ+jφ+kψ  (0≦θ≦2π、0≦φ≦2π、0≦ψ≦2π) 
で表される。それは、四次元空間の原点から距離「1」だけ離れた点から成る三次元「球体」。同様に、八元数七次元単位球面は、八次元空間の原点から距離「1」だけ離れた点から成る七次元「部分空間」。分かっている人にはお節介だが、もう少しで分かりそうな人をもう一押しするために、敢えて「注記」した。

分科会2023#4 (9月16日) 開催通知および配付資料

日時2023年9月16日土曜日 13:30 ー 15:30
場所(東京都 新宿区 信濃町 33 -4 カトリック真生会館 1Fホール)
ZOOMによるオンライン勉強会を予定。参加を予定する方は私(齋藤)までお知らせ下さい。
テーマ“フランチェスコの経済 – 今問われているのは、人殺しの経済を生命の経済に、全ての面において変革すること”

配付資料

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clm.309:実数とは、確率100%で起こる波束の収縮によって認識される概念なのかもしれない!?

更にコラム307「自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか」の続き。

前回コラム308では、実数 x の量子状態ベクトル |x>は、その実数関連部分を抽出して、複素平面上で半径をxとする円( つまり xe )として表すことが出来るのでは、と考えた。

勿論、量子の全貌は、少なくとも今の人間の力ではconceive出来ない。だから、実数 x の量子状態ベクトル |x>を xeとして捉えてみるというのは、「便宜上の表式」あるいは「 |x>が実数 x として私達の前に(あるいは意識の中に)波束の収束を起こす部分に限った話」だ。

けれどもこの「便宜上の表式」は、標題に記したようなチョット面白いことを想起させる。どういうことかというと…。

いま、 |x>に左から演算すると実数 x を返す実数演算子というものを定義してみる。即ち
   |x> = x |x>
である。さらに量子論の公理系から、
   |x> = Σ k番目の固有値・k番目の固有ベクトル
と、 によって |x>がスペクトル分解できることが分かる。

スペクトル分解の上式を、先程の「 |x>が実数 x として私達の前に(あるいは意識の中に)波束の収束を起こす部分は xeと置くことができる」というのと並べて見比べてみる。すると、|x> はを演算されることによって一つだけの固有値 x と一つだけの固有ベクトルe を持つ、ということが浮かび上がってくる。式で表せば、
   |x> = xe
ということ。

ここまで「そうだ」と思ってくれれば、あとは、Bornの確率規則により、
  |x>が固有値 xに向かって「波束の収縮」を起こす確率
      = || 対応する固有ベクトル ||2
         = (e-iθの平方根 )2 
                      = 1

以上により、「実数 x の量子状態ベクトル|x>が、実数 として私達の前に(あるいは意識の中に)波束の収縮を起こすとき、確率100%で、実数 x が現れる。」と想定できる。

もしこれが本当なら、「実数x の、ヒルベルト空間におけるsubstance(実体、本体、本質)は、量子状態ベクトル |x>、あるいはその実数関連部分を抽出して xeである」ということが、「人間には杳(よう)として知れぬ」というのが、当然のこととなる。

つまりこれは「本当かどうか証明できない」。また、それ以前に「こんなこと思いつきもしない。疑問が湧かないから、証明する必要も無い」。

量子論のことばで説明すると、ある可観測量について固有ベクトルと固有値の組を複数もつ量子が背後にあるならば、複数回の観測をするとその可観測量の値(あたい)がばらつき、「測定精度が悪いのか、それとももっと根本的な問題か???」と疑問が湧く。けれども、ある可観測量について固有ベクトルと固有値の組を一つしか持たない量子が背後にあるときは、何度観測してもその可観測量の値(あたい)が(測定精度が悪くないのであれば)一つの確定値となり、「何か見落としているのかな?」という疑問が湧いてこない。

今の場合でいうと、実数で表現されるa naive realityにいる人間(a human existence)が、或る実数 x を「想起」しようとすると、その実数 x の起源である実数量子が実数 x に対し固有ベクトルと固有値の組を「eと x 」という具合に一つしか持たないので、何度「想起」してもその実数の値が常に一つの確定値 x に「波束の収縮」をする。「背後があるかも」なんて思いもしない。疑問の余地が無い。

恐らく本当。でも、受け入れるなら「公理」として受け入れるしかない、のだろう…。きっと…。

clm.308:量子の世界 (ヒルベルト空間)では、3+4は7ではなく1から7で変化する!?

コラム307「自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか」の続き。

今回の要点:全てが実数で表されるa naive realityにいる私達が認識する実数 c の、一つ外側の高次空間においてbeingするその実体は、一次元ヒルベルト空間内の一成分複素ベクトル |c>、つまり、複素平面上の円をなす複素数集合 x + iy, (ただしx2 + y2 = c2 )ではないのか。

図をジックリとご覧頂ければイメージが掴めると思う。

更に言えば、私達がa naive realityにおいて認識する実数 c は、波束 |c> が実軸上にreduction of wave packet(波束の収縮)をしたものではないのか…。

・・・昨日コロナワクチン第6回目を受けて身体の節々が少し痛い。今はこれ以上考えがまとまらない。続きは後日。

20230611追記:これに似た考えは、須藤靖著『解析力学・量子論 第二版』207頁にもある。

20230627追記:position operator(位置演算子)の記事も参考になる。

clm.307:自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか

Not only natural numbers but all real numbers are squared beings in another universe? 

去年4月に、NHK「数学者は宇宙をつなげるか ー abc予想証明をめぐる数奇な物語」で左図を見た。それは「私達の宇宙では、…3,4,5,6…の様にexistしている自然数は、別の宇宙では、…9,16,25,36…の様に二乗値としてbeingしているのではないか」という問題提起。以来、私の頭から離れないのは「いや、そういった宇宙Bでは、自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか」ということ。一年間以上頭から離れないので現時点でメモを残すことにした。・・・

・・・コラム255「量子論の公理系」で紹介したように、量子は、ヒルベルト空間内の複素ベクトルとして表される。ヒルベルト空間とは、{1} 内積が定義される、{2} 完備な、{3} 複素ベクトル空間のこと。ヒルベルト空間の元(element)は、x+iyの様に実数部と虚数部  (iは虚数単位、i2=-1) を持つ複素数で表される成分を持つ複素ベクトル。ヒルベルト空間には「実数で全容が表される存在」は無い。例えば長さ30.5センチ重さ56.9グラムのように全て実数で表されるa naive realityにいる私達には、「量子」の全貌を捉えることはできない。

しかし、ヒルベルト空間内の複素ベクトル  |φ>は、その大きさ || |φ>||が、以下の様に正の実数値として定義できる。またここでは詳しくは陳べないが、大きさ || |φ>||から導出される量は、公理3「Bornの確率規則」によって、測定値 akが得られる確率として実際に観測することが可能だ。

(厳密に言うと、量子を表す複素ベクトルを顕(あら)わに数式で表すことは出来ない。一般的には、さまざまな複素関数を使って「波動関数」をつくり出し「量子の表式」として使うことが多いが、その様な「波動関数」は「量子」の全貌を捉えたものではない。a naive realityにいる私達には「量子」の全貌を捉えることはできない。以下の表式も、あくまで便宜的なものだ。)

|φ>の成分を x1+iy1, x2+iy2, ・・・xn + iyn   として
自分自身との内積 = <φ|φ> = (x1-iy1)(x1+iy1)+(x2-iy2)(x2+iy2)+・・・+(xn – iyn)(xn + iyn)
                                               = x12+y12+x22+y22+ ・・・+xn2+yn2 
大きさ = <φ|φ> の平方根 = (x12+y12+x22+y22+ ・・・+xn2+yn2 ) の平方根

ここでは、複素数 x+iy にその共役複素数 x-iyを掛け算し、(x-iy)(x+iy) = x2 – i2y2 = x2 + y2 と、正の実数値となる点に注意したい。

つまりここが肝腎なところだが、「実数で全容が表される存在」が無いヒルベルト空間に、複素ベクトルの「大きさ」という正の実数値で表せる量を、a naive realityにいる私達は見いだすことが出来る。

私達がいると感じているa naive realityの、一つ外側の高次空間であるヒルベルト空間には、自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか、と考える所以。

6月のQuantum 2.0に、アスペとクラウザーがキーノート予定。

速報! 今年6月、二年ぶりで開催されるQuantum 2.0学会に、アスペとクラウザーがKeynote speakerとして登壇する。去年秋、彼らがノーベル物理学賞を受賞したことは記憶に新しい。

in person and virtual開催。私のような退職者にはデンバーまで出向くのはチト難しい。オンライン参加で、我慢しよう。(^o^)

economic substanceとinformal economy

先の、substance(本質)とform(形)のイメージ図は、下図のイメージに繫がる。肝心なことを書き忘れていた。(^_^;)

※)注意点:形骸化したformal economy、drugやtraffic exchangeを扱うinformal economy、これらはeconomic substanceを持たないだろう。形而下界に現れたeconomyが全て、economic substanceを持つわけではない。

20220908追記)「form(形)があってもsubstance(本質)がないものがある」「form(形)がなくてもsubstance(本質)があるものがある」と気付くことが要点。

20220924追記)from it to bit. それは量子論の潮流でもある。