コラム307「自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか」の続き。

今回の要点：全てが実数で表されるa naive realityにいる私達が認識する実数 c の、一つ外側の高次空間においてbeingするその実体は、一次元ヒルベルト空間内の一成分複素ベクトル |c>、つまり、複素平面上の円をなす複素数集合 x + iy, (ただしx² + y² = c² )ではないのか。

図をジックリとご覧頂ければイメージが掴めると思う。

更に言えば、私達がa naive realityにおいて認識する実数 c は、波束 |c> が実軸上にreduction of wave packet（波束の収縮）をしたものではないのか…。

・・・昨日コロナワクチン第6回目を受けて身体の節々が少し痛い。今はこれ以上考えがまとまらない。続きは後日。

20230611追記：これに似た考えは、須藤靖著『解析力学・量子論 第二版』207頁にもある。

20230627追記：position operator（位置演算子）の記事も参考になる。

Not only natural numbers but all real numbers are squared beings in another universe？　

去年4月に、NHK「数学者は宇宙をつなげるか　ー abc予想証明をめぐる数奇な物語」で左図を見た。それは「私達の宇宙では、…3,4,5,6…の様にexistしている自然数は、別の宇宙では、…9,16,25,36…の様に二乗値としてbeingしているのではないか」という問題提起。以来、私の頭から離れないのは「いや、そういった宇宙Bでは、自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか」ということ。一年間以上頭から離れないので現時点でメモを残すことにした。・・・

・・・コラム255「量子論の公理系」で紹介したように、量子は、ヒルベルト空間内の複素ベクトルとして表される。ヒルベルト空間とは、{1} 内積が定義される、{2} 完備な、{3} 複素ベクトル空間のこと。ヒルベルト空間の元（element）は、x+iyの様に実数部と虚数部  (iは虚数単位、i²=－1) を持つ複素数で表される成分を持つ複素ベクトル。ヒルベルト空間には「実数で全容が表される存在」は無い。例えば長さ30.5センチ重さ56.9グラムのように全て実数で表されるa naive realityにいる私達には、「量子」の全貌を捉えることはできない。

しかし、ヒルベルト空間内の複素ベクトル  |φ＞は、その大きさ || |φ＞||が、以下の様に正の実数値として定義できる。またここでは詳しくは陳べないが、大きさ || |φ＞||から導出される量は、公理3「Bornの確率規則」によって、測定値 a_kが得られる確率として実際に観測することが可能だ。

（厳密に言うと、量子を表す複素ベクトルを顕(あら)わに数式で表すことは出来ない。一般的には、さまざまな複素関数を使って「波動関数」をつくり出し「量子の表式」として使うことが多いが、その様な「波動関数」は「量子」の全貌を捉えたものではない。a naive realityにいる私達には「量子」の全貌を捉えることはできない。以下の表式も、あくまで便宜的なものだ。）

|φ＞の成分を x₁+iy_1, x₂+iy₂, ・・・x_n + iy_n   として
自分自身との内積 = ＜φ|φ＞ = (x₁-iy₁)(x₁+iy₁)+(x₂-iy₂)(x₂+iy₂)+・・・+(x_n – iy_n)(x_n + iy_n)
                                               = x₁²+y₁²+x₂²+y₂²+ ・・・+x_n²+y_n² 
大きさ = ＜φ|φ＞ の平方根 = (x₁²+y₁²+x₂²+y₂²+ ・・・+x_n²+y_n² ) の平方根

ここでは、複素数 x+iy にその共役複素数 x-iyを掛け算し、(x-iy)(x+iy) = x² – i²y² = x² + y² と、正の実数値となる点に注意したい。

つまりここが肝腎なところだが、「実数で全容が表される存在」が無いヒルベルト空間に、複素ベクトルの「大きさ」という正の実数値で表せる量を、a naive realityにいる私達は見いだすことが出来る。

私達がいると感じているa naive realityの、一つ外側の高次空間であるヒルベルト空間には、自然数だけでなく実数全体が二乗値としてbeingしているのではないか、と考える所以。