「実数全体が二乗値としてbeingしているのでは」シリーズの続き。

コラム309で「|ｘ＞ はＸを演算されることによって一つだけの固有値 x と一つだけの固有ベクトルｅ^iθ を持つ」と述べたが、この唯一の固有ベクトルは、複素単位円e^iθに限定されないことに気づいた。メモしておく。

ブルーバックス『数の世界 自然数から実数、複素数、そして四元数へ』(229頁)を読んで気づいた。

この229頁中程にある「1次元、3次元、7次元の単位球面」、即ち、「それぞれ複素数、四元数、八元数を用いて表される、大きさが1である数の全体」のどれかが、該「唯一の固有ベクトル」であれば、「実数 x の量子状態ベクトル|ｘ＞が、実数 として私達の前に（あるいは意識の中に）波束の収縮を起こすとき、確率100％で、実数 x が現れる。」となる。

20230905追記：上記の四元数三次元単位球面と八元数七次元単位球面は、通常の二次元球面ではない。「面」と呼ぶのは不適切かもしれない。四元数三次元単位球面は、『数の世界』204頁の表式
　　e^{iθ＋jφ＋kψ} 　（0≦θ≦2π、0≦φ≦2π、0≦ψ≦2π）　
で表される。それは、四次元空間の原点から距離「1」だけ離れた点から成る三次元「球体」。同様に、八元数七次元単位球面は、八次元空間の原点から距離「1」だけ離れた点から成る七次元「部分空間」。分かっている人にはお節介だが、もう少しで分かりそうな人をもう一押しするために、敢えて「注記」した。